Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác
1. Tính chất đường phân giác của tam giác
Định lí: (Tính chất đường phân giác của tam giác) Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.
2. Chứng minh định lí
Vẽ đường thẳng qua B, song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E.
Theo giả thiết, AD là phân giác của góc A nên ˆA1=ˆA2 .
Ta có: EB // AD nên ˆA1=ˆB1 (hai góc so le trong);
ˆA2=ˆE(hai góc đồng vị).
Do đó: 
nên tam giác AEB cân tại A.
Suy ra: AE = AB (1).
Mặt khác, áp dụng định lí Thalès vào tam giác CEB, ta có:
DBDC=AEAC(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra: DBDC=ABAC .
Khám phá thêm
Toán học lớp
Tứ giác nội tiếp
Chú ý: Trong tam giác ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thỏa mãn DBDC=ABAC thì AD là đường phân giác của góc A.
Ví dụ: Tính độ dài x trong hình dưới đây biết AM là đường phân giác của góc A.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác ABC có AM là đường phân giác của góc A.
Do đó ta có:
MCMB=ACABhayx10=2015.
Suy ra: x = 20⋅1015=403 .
Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác
Bài 1: Cho hình vẽ dưới đây.
a) Tính xy .
b) Tính x khi y = 5.
Hướng dẫn giải
a) Từ hình vẽ ta có AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC.
Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có
ABAC=BDDChay3,57,5=xy.
Suy ra: xy=715 .
b) Khi y = 5 thì x = 5⋅715=73 .
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, EB.
Hướng dẫn giải
Vì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC, nên ta có
DBDC=ABAC(1)
AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC, ta có:
EBEC=ABAC(2)
Từ (1) và (2) suy ra: DBDC=EBEC=ABAC=69=23 .
Từ DBDC=23 , suy ra DBBC=25 ⇒ DB = 25 BC = 25 . 10 = 4 (cm).
Từ EBEC=23 , suy ra EBBC=2 ⇒ EB = 2BC = 2 . 10 = 20 (cm).
Vậy DB = 4 cm và EB = 20 cm.