A. Lý thuyết
1. Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:
• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH < AC, AH < AD, AH < AB
3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC
• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC
• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
AB = AC ⇔ HB = HC
4. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B' trên cạnh AB, lấy điểm C' trên cạnh AC. So sánh B'C' với BC
Lời giải:
Do B’ và C’ lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC nên
Ta có: AC' < AC ⇒ B'C^' < B'C
(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Lại có: AB' < AB ⇒ B'C < BC
(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Khi đó ta có: B'C' < BC
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:
a) PA < CA
b) CP < CB
Lời giải:
B. Bài tập
Bài 1: Cho ΔABC, kẻ AH ⊥ BC tại H, Chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Ta có:
AH là đường vuông góc
AB, AC là các đường xiên
Nên ta có: 
Hay 
b) Chứng minh tương tự như câu a), ta được BK, CL là đường cao hạ từ đỉnh B và C
Ta có: 
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC . Trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH.
Chứng minh rằng DE ⊥ AC ⇒ BC + AH > AC + AB .
Lời giải:
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng AH+BC2<AB+AC<AH+BC.
Hướng dẫn giải:
Ta có AB > AH, AC > AH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)
Nên AB + AC > AH + AH hay AB + AC > 2AH (1)
Ta cũng có AB > BH, AC > CH (đường xiên lớn hơn đương vuông góc)
Nên AB + AC > BH + CH hay AB + AC > BC (2)
Từ (1) và (2) ta có: 2(AB + AC) > 2AH + BC
Do đó AB + BC > AH + BC2(*)
Kẻ EF vuông góc với AC tại F
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE nên ∆ABE cân tại B
Do đó ˆBAE=ˆBEA
Mặt khác ˆBAE=ˆAEF cùng phụ với ˆEAF nên ˆBEA=ˆAEF
⇒ ∆AHE = ∆AFE (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = AF (hai cạnh tương ứng)
Do đó BC + AH = BE + EC + AH = BA + EC + AF.
Vì EC > CF (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) nên
BC + AH > BA + CF + AF hay BC + AH > BA + AC (**)
Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB > AC, kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). So sánh BH và CH.
Hướng dẫn giải:
Ta có BH là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng BC và CH là hình chiếu của đường xiên AC lên đường thẳng BC.
Do AB > AC nên BH > CH.
Bài 3. Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AH, H ∈ BC. Lấy điểm K bất kì thuộc AH ( K ≠ H).
a) Chứng minh rằng HB < HC.
b) BK < CK.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có AB, AC là các đường xiên và BH, CH tương ứng là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng BC.
Vì AB < AC nên BH < CH (đường xiên bé hơn thì hình chiếu bé hơn).
b) Ta có BH, CH lần lươt là hình chiếu của BK, CK lên BC.
Vì BH < CH nên BK < CK.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC. Trên đoạn thẳng AH lấy điểm M. Chứng minh rằng:
a) AH<AB+AC2;
b) BM < CM.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có AH ⊥ BC nên AH là đường vuông góc còn AB là đường xiên.
Do đó AH < AB (1)
Lập luận tương tự ta có AC là đường xiên còn AH là đường vuông góc nên AH < AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH + AH < AB + AC
Do đó AB<AB+AC2
b) Ta có BH và CH tương ứng là hình chiếu của đường xiên AB và AC lên đường thẳng BC.
Vì AB < AC nên BH < CH.
Mặt khác BH và CH là hình chiếu của đường xiên MB và MC trên BC và BH < CH nên MB < MC.
Bài 5. Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống các đường thẳng AB, AC. So sánh BC và tổng DH + DK.
Hướng dẫn giải:
Ta có DH < BD (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
DK < DC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
Suy ra DH + DK < BD + DC hay DH + DK < BC.
Bài 6. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C (AD vuông góc với BC). Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C xuông đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng:
a) AB + AC > BH + CK.
b) BH + CK > BC.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, Bm là tia phân giác của ˆB cắt AC tại D. Tại C kẻ Cn ⊥ AC (AB và Cn thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là AC), Cn cắt Bm tại E. So sánh chu vi tam giác ABD và chu vi tam giác CDE.
Bài 8. Cho tam giác ABC có AB > AC. Từ A hạ AH ⊥ BC, trên đường thẳng AH lấy điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) MB > MC;
b) BA > BM.
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên tia đối của tia HA lấy điểm F sao cho HF = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E tùy ý. Chứng minh rằng:
a) AB = AC = FB = FC;
b) Tam giác AEF cân.
Bài 10. Đoạn thẳng MN = 12 cm; PQ = 8 cm cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đoạn và góc tạo thành giữa 2 đoạn thẳng đó là 60° (ˆMOQ = 60°)
a) Nêu cách tìm hình chiếu của đoạn MN trên đường thẳng PQ, và cách tìm hình chiếu của đoạn PQ trên đường thẳng MN.
b) Tính độ dài của hai hình chiếu đó.